北京师范大学-432统计学-2016年

一、选择题（15分）

下面关于箱线图和算术平均数正确的是( ).

A. 平均数大于15
B. 平均数等于15
C. 平均数小于15
D. 无法判断

Solution: A.

技术人员对某生产线上的产品每隔100件抽样一次, 他使用的抽样方法是( ).
A. 简单随机抽样
B. 整群抽样
C. 分层抽样
D. 系统抽样

Solution: D.

根据样本已经得到了 $\theta$ 的 $95\%$ 置信区间 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ , 正确的是( ).
A. 该区间以 $95 \%$ 的概率包含真值
B. 参数 $\theta$ 在该区间内的概率为 $95 \%$
C. 该区间有 $95 \%$ 的可能性包含参数 $\theta$
D. 参数 $\theta$ 或者在 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 内, 或者不在 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 内

Solution: D. 此时已经根据样本值得到了一个固定的置信区间, 参数要么在这个固定的区间中, 要么不在其中. 注意如果题干改为抽样之前, 则由于样本还未获得, 两个区间端点都是随机的, 随机区间 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 覆盖参数真值 $\theta$ 的概率是 $95\%$ . 但现在, 区间已定, 参数也是个常数, 要么在里面, 要么不在里面.

设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ , 则当 $\sigma$ 增大时, 概率 $P(|X-\mu|<\sigma)$ 逐渐( )
A. 增大
B. 减小
C. 不变
D. 无法确定

Solution: C. $P(|X-\mu|<\sigma)=P(\frac{|X-\mu|}{\sigma}<1)=\Phi(1)-\Phi(-1)$ 是定值.

某校学生的成绩服从正态分布 $X \sim N(\mu, 36)$ , 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 的情况下, 则要使估计 $\mu$ 的测量误差控制在 $\pm1$ 之内, 需要多少样本量（）
A. 139
B. 2238
C. 48
D. 934

Solution: A. $\bar{X}\sim N(\mu,\frac{36}{n})$ , 令 $P(|\bar{X}-\mu|\le 1) = 0.95$ , 化简得

P\left( \frac{|\bar{X}-\mu |}{6/\sqrt{n}}\le \frac{\sqrt{n}}{6} \right) =0.95,

这也意味着 $\frac{\sqrt{n}}{6}=u_{0.025}=1.96$ , 解得 $n=6^2\cdot 1.96^2=138.298$ .

二、问答题

(10分) 抽样调查的主要优点有哪些?

Solution:
1、抽样调查可以减少调查的工作量，调查内容可以求多、求全或求专，可以保证调查对象的完整性。

2、可以从数量上以部分推算总体，利用概率论和数理统计原理，以一定的概率保证推算结果的可靠程度，起到全面调查认识总体的功能，可以保证调查的精度。

3、因为抽样调查是针对总体中的一部分单位进行的，抽样调查可以大大减少调查费用，提高调查效率。

4、收集、整理数据、综合样本的速度快，保证调查的时效性。

2.(10分) 某篮球队队员年龄为 $37, 35, 32, 28, 27, 27, 24, 22, 19$ , 写出这组数据的分析报告.

Solution:
(i) 可以用平均值、中位数、标准差等统计量作分析;
(ii) 可以用箱线图、茎叶图等图形作分析;
(iii) 可以用集中趋势、离散趋势、分布形状作分析.

这里, 有
$\bar{x} = 27.89$ , $s=5.93$ , 变异系数 $C=0.21$ , 中位数 $M = 27$ .

茎叶图为

茎	叶
3	7 5 2
2	8 7 7 4 2
1	9

分析:
变异系数较小, 仅为 0.21, 说明数据集中程度较高. 茎叶图中可以也看出, 年龄主要集中在20多岁.

(12分) 一个罐子里有黑球和白球, 有放回地抽取一个样本容量为 $n$ 的样本, 其中有 $k$ 个白球, 问: 罐子里黑球和白球数之比 $R$ 的极大似然估计量如何?

Solution: 有放回取球, 取出的白球数 $k\sim B(n,p)$ , 其中 $p$ 是白球的比例. 有 $\hat{p}=\frac{k}{n}$ , 而 $\frac{1-p}{p}=R$ , 根据MLE的不变性, 有

\hat{R}=\frac{1-\frac{k}{n}}{\frac{k}{n}}=\frac{n-k}{k}.

(12分) 机场大巴从起点站到西单站恰有 $n$ 站, 某次大巴从机场开出时有 $m$ 位旅客, 每位旅客在每站下车都是等可能的(即每人都有 $n$ 次下车选择), 如果无人下车则中途不停车. 求机场大巴到西单站的平均停车次数.

$n\left[ 1-\left( 1-\frac{1}{n} \right) ^m \right]$ . 设 $X_1,\cdots,X_n$ 分别是各站停车次数, $X_1=1$ 表示在第一站停车, $X_1=0$ 表示不停车, 则题目所求即为 $E(X)=E(X_1+\cdots+X_n)=E(X_1)+\cdots+E(X_n)=nE(X_1)$ . 而

E\left( X_1 \right) =P\left( X_1=1 \right) =1-P\left( X_1=0 \right) =1-\left(1- \frac{1}{n} \right) ^m,

因此 $E\left( X \right) =n\left[ 1-\left( 1-\frac{1}{n} \right) ^m \right]$ .

(15分) 下面论述是否正确? 正确的给出证明, 错误的举出反例.
(1) 概率为 0 的事件是不可能事件;
(2) 概率为 1 的事件是必然事件;
(3) 小概率事件迟早会发生.

(1) 错误. 如设 $\Omega=[0,1]$ , $A=\{\frac{1}{2}\}$ , 显然 $A$ 并非不可能事件(并非 $\emptyset$ ), 但 $P(A)=0$ , 在线段上取到单点的概率为 0.

(2) 错误, 如设 $\Omega=[0,1]$ , $A=[0,1)$ , 显然 $A$ 并非必然事件(并非全集 $\Omega$ ), 但 $P(A)=1$ .

(3) 正确, 设事件 $A_1,A_2,...$ 发生的概率都非常小, 为 $\varepsilon>0$ , 一直不发生的概率为

P\left( \bigcap_{i=1}^{\infty}{\bar{A}_i} \right) =\prod_{i=1}^{\infty}{P\left( \bar{A}_i \right)}=\lim_{n\rightarrow \infty} \left( 1-\varepsilon \right) ^n=0.

因此迟早会发生.

(20分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的独立样本.
(1) (7分) 求 $\mu, \sigma^2$ 的MLE, 它们是无偏估计吗?
(2) (6分) 写出样本方差的表达式, 它是无偏估计吗?
(3) (7分) 如果 $\sigma^2 =4$ , 求 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间.

似然函数为

L\left( \mu,\sigma ^2 \right) =\left( 2\pi \sigma ^2 \right) ^{-\frac{n}{2}}e^{-\frac{1}{2\sigma ^2}\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\mu \right) ^2}},

对数似然函数是

\ell \left( \mu,\sigma ^2 \right) =-\frac{n}{2}\ln \left( 2\pi \right) -\frac{n}{2}\ln \sigma ^2-\frac{1}{2\sigma ^2}\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\mu \right) ^2},

求导得

\ell'(\mu)=-\frac{-2\sum_{i=1}^n(x_i-\mu)}{2\sigma^2}, \quad \ell '\left( \sigma ^2 \right) =-\frac{n}{2\sigma ^2}+\frac{\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\mu \right) ^2}}{2\sigma ^4},

令其为 $0$ , 解得

\hat{\mu}=\bar{x},\quad\hat{\sigma}^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{\left( x_i-\bar{x} \right) ^2}.

$E(\hat{\mu})=\mu$ , 是无偏估计. 但由于 $\frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)$ , 因此 $E(\hat{\sigma}^2)=\frac{n-1}{n}\sigma^2$ , 不是无偏估计.

(2) 样本方差的表达式是

S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2,

根据第(1)问的论述, 它是 $\sigma^2$ 的无偏估计.

(3) 利用 $\bar{X}\sim N(\mu,\frac{4}{n})$ 构造区间, 即有

\mu \in \left[ \bar{X}-u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{2}{\sqrt{n}},\bar{X}+u_{\frac{\alpha}{2}}\frac{2}{\sqrt{n}} \right] .

(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自一个期望为 $\mu$ , 方差为 $\sigma^2$ 的正态总体独立样本.
(1) (7分) 为使得 $C \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计, 求 $C$ .
(2) (8分) $\bar{x}^2$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计吗? 若不是, 给出 $\mu^2$ 的一个无偏估计.

(1) 由正态分布性质, 有 $X_{i+1}-X_i \sim N(0,2\sigma^2)$ , 故 $E(X_{i+1}-X_i)^2 = 2\sigma^2$ , 由期望的线性可加性, 有

E[C \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2] = C\cdot(n-1)\cdot2\sigma^2,

因此 $C=\frac{1}{2(n-1)}$ .

(2) 由于 $\bar{x} \sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ , 故 $E(\bar{x}^2) = \mu^2 +\frac{\sigma^2}{n}$ , 它不是 $\mu^2$ 的无偏估计, 修正后看出 $\bar{x}^2 - \frac{S^2}{n}$ 恰好是 $\mu^2$ 的无偏估计, 其中 $S^2$ 是样本方差.

(15分) 从 $N(\mu,1)$ 总体抽取 100 个随机样本 $x_1,\cdots,x_{100}$ , 为讨论假设检验问题

H_0:\mu = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 0

构造拒绝域 $W=\{|\bar{x}|<0.001\}$ .

(1)(8分) 已知 $\Phi(0.01)<0.505$ , 证明犯第一类错误概率 $\alpha <0.01$ ;
(2)(7分) $W$ 是一个合适的拒绝域吗? 为什么?

Solution: (1) 样本均值 $\bar{x}\sim N\left( \mu ,\frac{1}{100} \right)$ , 故有

\alpha =P_{\mu =0}\left( \left| \bar{X} \right|<0.001 \right) =P_{\mu =0}\left( \left| 10\bar{X} \right|<0.01 \right) =2\Phi \left( 0.01 \right) -1<0.01.

(2) 不是, $|\bar{x}|<0.001$ 实际正反应了 $|\mu|$ 比较小, 接近于 0, 正确的拒绝域形式应是形如 $\{|\bar{x}|>c\}$ , 其中 $c$ 可由显著性水平确定.

(20分) 有下述一元线性回归模型

Y_i = a + b X_i + \varepsilon_i

以及对应的方差分析表.

变量	平方和	自由度	Prob( $>F$ )
回归	1212	1	0.0001
残差
总	1888	29

(1)(7分) 补齐方差分析表.
(2)(8分) 给定 $\alpha=0.05$ , 方程是否显著? 写出原假设和备择假设.

Solution:
[注]: 自由度与样本量、参数的关系是:
假设有 $n$ 个样本、 $k$ 个参数, 如 $y=a+bx$ 是2个参数, 如 $y=a+b_1x_1 + b_2x_2$ 是3个参数, 则总自由度 $n-1$ , 回归自由度 $k-1$ , 残差自由度 $n-k$ .

(1) 补齐后如下:

变量	平方和	自由度	均方	$F$ 比	Prob( $>F$ )
回归	1212	1	1212	50.21	0.0001
残差	676	28	24.14
总	1888	29

(2) 方程是显著的, 因为 $F$ 检验的 p 值是 0.0001<0.05, 拒绝原假设. 对应的原假设和备择假设是

H_0:\beta = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\beta \neq 0