北京师范大学-432统计学-2016年

一、选择题（15分）

下面关于箱线图和算术平均数正确的是( ).

A. 平均数大于15
B. 平均数等于15
C. 平均数小于15
D. 无法判断
技术人员对某生产线上的产品每隔100件抽样一次, 他使用的抽样方法是( ).
A. 简单随机抽样
B. 整群抽样
C. 分层抽样
D. 系统抽样
根据样本已经得到了 $\theta$ 的 $95\%$ 置信区间 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ , 正确的是( ).
A. 该区间以 $95 \%$ 的概率包含真值
B. 参数 $\theta$ 在该区间内的概率为 $95 \%$
C. 该区间有 $95 \%$ 的可能性包含参数 $\theta$
D. 参数 $\theta$ 或者在 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 内, 或者不在 $(\hat{\theta}_1,\hat{\theta}_2)$ 内
设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$ , 则当 $\sigma$ 增大时, 概率 $P(|X-\mu|<\sigma)$ 逐渐( )
A. 增大
B. 减小
C. 不变
D. 无法确定
某校学生的成绩服从正态分布 $X \sim N(\mu, 36)$ , 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 的情况下, 则要使估计 $\mu$ 的测量误差控制在 $\pm1$ 之内, 需要多少样本量（）
A. 139
B. 2238
C. 48
D. 934

二、问答题

(10分) 抽样调查的主要优点有哪些?
(15分) 某篮球队队员年龄为 $37, 35, 32, 28, 27, 27, 24, 22, 19$ , 写出这组数据的分析报告.
(15分) 一个罐子里有黑球和白球, 有放回地抽取一个样本容量为 $n$ 的样本, 其中有 $k$ 个白球, 问: 罐子里黑球和白球数之比 $R$ 的极大似然估计量如何?
(15分) 机场大巴从起点站到西单站恰有 $n$ 站, 某次大巴从机场开出时有 $m$ 位旅客, 每位旅客在每站下车都是等可能的(即每人都有 $n$ 次下车选择), 如果无人下车则中途不停车. 求机场大巴到西单站的平均停车次数.
(15分) 下面论述是否正确? 正确的给出证明, 错误的举出反例.
(1) 概率为 0 的事件是不可能事件;
(2) 概率为 1 的事件是必然事件;
(3) 小概率事件迟早会发生.
(20分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的独立样本.
(1) (7分) 求 $\mu, \sigma^2$ 的MLE, 它们是无偏估计吗?
(2) (6分) 写出样本方差的表达式, 它是无偏估计吗?
(3) (7分) 如果 $\sigma^2 =4$ , 求 $\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间.
(15分) 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自一个期望为 $\mu$ , 方差为 $\sigma^2$ 的正态总体独立样本.
(1) (7分) 为使得 $C \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$ 为 $\sigma^2$ 的无偏估计, 求 $C$ .
(2) (8分) $\bar{x}^2$ 是 $\mu^2$ 的无偏估计吗? 若不是, 给出 $\mu^2$ 的一个无偏估计.
(15分) 从 $N(\mu,1)$ 总体抽取 100 个随机样本 $x_1,\cdots,x_{100}$ , 为讨论假设检验问题

H_0:\mu = 0 \quad \mathrm{vs} \quad H_1:\mu \neq 0

构造拒绝域 $W=\{|\bar{x}|<0.001\}$ .

(1)(8分) 已知 $\Phi(0.01)<0.505$ , 证明犯第一类错误概率 $\alpha <0.01$ ;
(2)(7分) $W$ 是一个合适的拒绝域吗? 为什么?

(15分) 有下述一元线性回归模型

Y_i = a + b X_i + \varepsilon_i

以及对应的方差分析表.

变量	平方和	自由度	Prob( $>F$ )
回归	1212	1	0.0001
残差
总	1888	29

(1)(7分) 补齐方差分析表.
(2)(8分) 给定 $\alpha=0.05$ , 方程是否显著? 写出原假设和备择假设.