中国科学技术大学-432统计学-2016年

一、(每小题8分, 共56分)

  1. 设 P(Xi=−1)=P(Xi=1)=1/4,P(Xi=0)=1/2,i=1,2P\left(X_{i}=-1\right)=P\left(X_{i}=1\right)=1 / 4, P\left(X_{i}=0\right)=1 / 2, i=1,2, 且 P(X1X2=0)=1P\left(X_{1} X_{2}=0\right)=1, 求 P(X1=X2)0P\left(X_{1}=X_{2}\right)_{0}.

  1. 设 A\mathrm{A} 与 B\mathrm{B} 为两个随机事件, 满足 P(A)=1/4,P(B∣A)=1/3P(A)=1 / 4, P(B \mid A)=1 / 3 和 P(A∣B)=1/2P(A \mid B)=1 / 2. 定义

X={1, 若A发生 0, 若A不发生 X=\left\{\begin{array}{ll} 1, &\text { 若A发生 } \\ 0, &\text { 若A不发生 } \end{array}\right.

Y={1, 若B发生 0, 若B不发生 Y=\left\{\begin{array}{ll} 1, &\text { 若B发生 } \\ 0, &\text { 若B不发生 } \end{array}\right.

求 (X,Y)(X, Y) 的分布律.


  1. 设三维随机向量 (X1,X2,X3)\left(X_{1}, X_{2}, X_{3}\right) 的协方差矩阵为

(91−21203−2312)\left(\begin{array}{ccc} 9 & 1 & -2 \\ 1 & 20 & 3 \\ -2 & 3 & 12 \end{array}\right)

定义 Y1=2X1+3X2+X3,Y2=X1−2X2+5X3,Y3=X2−X3Y_{1}=2 X_{1}+3 X_{2}+X_{3}, Y_{2}=X_{1}-2 X_{2}+5 X_{3},Y_{3}=X_{2}-X_{3}, 求 (Y1,Y2,Y3)\left(Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}\right) 的协方差矩阵.


  1. 设 X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 和 Y1,Y2,⋯ ,YnY_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n} 分别是来自于正态总体 N(μ1,25)\mathrm{N}\left(\mu_{1}, 25\right) 和 N(μ2,25)\mathrm{N}\left(\mu_{2}, 25\right) 的两个独立简单样本, 为使 μ1−μ2\mu_{1}-\mu_{2} 的置信水平 90%90 \% 的置信区间长度不超过 2 , 问样本容量 nn 应取多大?

  1. 设 X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 是来自于正态总体 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的简单随机样本, 其中 μ,σ2\mu, \sigma^{2} 皆未知. 确定常数 cc 使得c∑i=1n−1(Xn−Xi)2c \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{n}-X_{i}\right)^{2} 为 σ2\sigma^{2} 的无偏估计.

  1. 设总体 XX 的概率密度函数为

f(x;θ)={θxθ−1,0<x<10, 其他 f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll} \theta x^{\theta-1}, &0<x<1 \\ 0, &\text { 其他 } \end{array}\right.

又设 X1,X2X_{1}, X_{2} 是取自该总体的简单样本, 需要考虑的假设检验问顶为 H0:θ=1↔H1:θ=2\mathrm{H}_{0}: \theta=1 \leftrightarrow \mathrm{H}_{1}: \theta=2, 其否定域为 {(X1,X2):3X1⩽4X2}\left\{\left(X_{1}, X_{2}\right): 3 X_{1} \leqslant 4 X_{2}\right\}, 求此检验的功效函数以及犯两种类型错误的概率.


  1. 设 Φ(x)\Phi(x) 为标准正态分布的分布函数, 随机变量 XX 的分布函数为

F(x)=0.4Φ(x−24)+0.6Φ(x),∀x∈RF(x)=0.4 \Phi\left(\frac{x-2}{4}\right)+0.6 \Phi(x), \forall x \in R

求 EXE X.


二、(20分) 设在 (0,1)(0,1) 区间上任意选取一点, 该点坐标记为 XX; 然后在区间 (0,X)(0, X) 上随机地选取一个
点,其坐标记为 YY.

(1) 求 YY 的概率密度函数;

(2) 求 X+YX+Y 和 YY 的数学期望;

(3) 求 XX 与 YY 之间的相关系数.


三、(13分) 设随机变量 X∼N(0,1),YX \sim N(0,1), Y 为另外一个随机变量, 等可能取值 1,2,⋯ ,n∘1,2, \cdots, n_{\circ} 记 Z=X/YZ=X / Y 且 YY 与 XX 相互独立, 问 ZZ 是否具有概率密度函数? 若存在概率密度函数, 请求出该概率密度函数.


四、(12分) 设 X1,⋯ ,X9X_{1}, \cdots, X_{9} 和 Y1,⋯ ,Y5Y_{1}, \cdots, Y_{5} 和分别是从正态总体 N(0,4)N(0,4) 和 N(8,9)N(8,9) 取出的一组简单样本(即独立同分布样本), 彼此相互独立, 记 Yˉ=∑j=15Yj/5\bar{Y}=\sum_{j=1}^{5} Y_{j} / 5, 问 ∑i=19Xi∑j=15(Yj−Yˉ)2\frac{\sum_{i=1}^{9} X_{i}}{\sqrt{\sum_{j=1}^{5}\left(Y_{j}-\bar{Y}\right)^{2}}} 服从什么分布?


五、(14分) 设总体 XX 分布函数为

F(x,θ)={1−x−θ,x>10,x≤1F(x, \theta)=\left\{\begin{array}{ll} 1-x^{-\theta}, & x>1 \\ 0, & x \leq 1 \end{array}\right.

其中 θ>1\theta>1 为未知参数, 设 X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 为来自总体 XX 的简单随机样本. 求 θ\theta 的矩估计量和极大似然估计量.


六、(20分) 现调查 50 个人, 每人回答其性别和喜欢的颜色, 调查结果如下:

红色 兰色 绿色
男 5 14 6
女 15 6 4

现欲检验一个人的性别与其喜欢的颜色是否相互独立. 由具体的数据,检验结果如何? (取显著性水平 α=\alpha= 0.0250.025 和 α=0.01\alpha=0.01 )


七、(15分) 考虑一元线性回归模型 Yi=βxi+εi,i=1,⋯ ,nY_{i}=\beta x_{i}+\varepsilon_{i}, i=1, \cdots, n. 其中 Eεi=0,Var⁡(εi)=σ2,Cov⁡(εi,εj)E \varepsilon_{i}=0, \operatorname{Var}\left(\varepsilon_{i}\right)=\sigma^{2}, \operatorname{Cov}\left(\varepsilon_{i}, \varepsilon_{j}\right) =0(∀i≠j)=0(\forall i \neq j). 试求 β\beta 的最小二乘估计 β^\hat{\beta}, 并证明 β^\hat{\beta} 为 β\beta 的无偏估计.


附: 可能用到的几类分布的上分位点: u0.05=1.645,u0.025=1.96,χ0.052(2)=5.991,χ0.0252(2)=7.378,χ0.012(2)=9.210,χ0.052(4)=9.488,u_{0.05}=1.645, u_{0.025}=1.96, \chi_{0.05}^{2}(2)=5.991, \chi_{0.025}^{2}(2)=7.378, \chi_{0.01}^{2}(2)=9.210, \chi_{0.05}^{2}(4)=9.488, χ0.0252(4)=11.143,χ0.012(4)=13.277\chi_{0.025}^{2}(4)=11.143, \chi_{0.01}^{2}(4)=13.277