中国科学技术大学-812概率论与数理统计-2016年

一、计算题(理由要充分.每小题8分,共88分)

  1. 连续抛掷一枚非均匀的硬币nn次, 且假设抛掷的结果并不独立: 第一次掷出正面的概率为α(0<α<1),\alpha(0<\alpha<1), 第二次后每次出现与前一次相同面的概率为β(0<β<1).\beta(0<\beta<1). 求第nn次出现正面的概率, 并讨论n→∞n \rightarrow \infty时的极限情况.

  1. 设随机变量XX的概率密度为f(x)=2(1−x),f(x)=2(1-x), 其中0<x<1.0<x<1 . 试构造区间(0,1)上的一个单调递增函数g(x),g(x), 使得g(X)g(X)恰好服从参数为1的指数分布.

  1. 设随机变量XX和YY的联合密度函数为

f(x,y)=e−x,0<y≤x<∞f(x, y)=e^{-x}, \quad 0<y \leq x<\infty

试求XX与YY的相关系数Corr⁡(X,Y)\operatorname{Corr}(X, Y).


  1. 设有nn个球依次随机地放入nn个盒子中, 设每个球放入每个盒子中的概率相等, 求放完后空盒子个数的期望, 以及当n→∞n \rightarrow \infty 时空盒子的平均比例.

  1. 在一圆周上随机取三个点, 求这些点能落在同一个半圆上(即能找到一条直径使得它们在该直径的同一侧)的概率.

  1. 设(X,Y)(X, Y)服从由xx 轴, yy 轴及直线x+y=1x+y=1 所围成的区域内的均匀分布, 求U=XYU=\frac{X}{Y}的概率密度函数.

  1. 每个分量均为连续型随机变量的随机向量也是连续型的吗? 若不是, 请举例说明.

  1. 利用中心极限定理, 求拋一枚均匀的硬币, 至少要拋多少次才能保证正面出现的比例落在45%和55%之间的可能性不小于90%?

  1. 设某电子产品的寿命服从如下分布:

F(x;α,β)={1−e−x−αβ,x≥α0,x<αF(x ; \alpha, \beta)=\left\{\begin{array}{ll} 1-e^{-\frac{x-\alpha}{\beta}}, & x \geq \alpha \\ 0, & x<\alpha \end{array}\right.

现测得nn个该电子产品的寿命为X1,X2,⋯ ,Xn,X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}, 试求未知参数α,β\alpha, \beta的矩估计和极大似然估计.


  1. 已知某种型号的导线电阻值服从正态分布N(μ,σ2),N\left(\mu, \sigma^{2}\right), 现测量16次, 算得样本均值为10.78欧姆, 样本标准差为1.40欧姆. 分别求均值μ\mu 和方差 σ2\sigma^{2}的置信水平为95%的置信区间(精确到小数点后两位).

  1. 设总体X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22),X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right), 其中 μ1,μ2,σ12,σ22\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}^{2}, \sigma_{2}^{2}均未知, 但 σ12=kσ22,k>0\sigma_{1}^{2}=k \sigma_{2}^{2}, k>0 为已知常数. 又设 X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 和 Y1,Y2,⋯ ,YmY_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{m}是分别来自总体XX和YY的两个独立样本. 记它们的样本均值分别为Xˉ\bar{X} 和 Yˉ,\bar{Y}, 样本方差分别为 SX2S_{X}^{2} 和 SY2,S_{Y}^{2}, 及

S2=(n−1)SX2+k(m−1)SY2n+m−2S^{2}=\frac{(n-1) S_{X}^{2}+k(m-1) S_{Y}^{2}}{n+m-2}

对检验水平α(0<α<1),\alpha(0<\alpha<1), 现欲检验假设

H0:μ1=μ2↔H1:μ1≠μ2\mathrm{H}_{0}: \mu_{1}=\mu_{2} \leftrightarrow \mathrm{H}_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2}

试构造该检验所需的统计量T,T, 要求该统计量服从t分布, 并写出含有TT的拒绝域形式.


二、(20分) 设某全套邮票由nn种不同类型的邮票组成, 某集邮爱好者每次等可能地获得其中一种. 记XnX_{n}表示他能聚齐全套nn种邮票所需集邮次数.

(1)(10分) 求XnX_{n}的数学期望和方差.

(2)(10分) 证明: 当n→∞n \rightarrow \infty 时, Xn/(nln⁡n)X_{n} /(n \ln n)依概率收敛到1.


三、(24分) 设总体服从参数为λ>0\lambda>0的Poisson分布, 且X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}为一组来自此总体的简单随机样本. 又设

Tn=∑i=1nXi,g^(λ)=(1−1n)Tn,g(λ)=e−λT_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}, \quad \hat{g}(\lambda)=\left(1-\frac{1}{n}\right)^{T_{n}}, \quad g(\lambda)=e^{-\lambda}

(1)(8分) 问 g^\hat{g} 是否为gg的无偏估计? 证明你的结论.

(2)(8分) 求 g^\hat{g} 的方差.

(3)(8分) 证明: g^\hat{g} 的方差没有达到无偏估计方差的Cramer-Rao下界, 但当 n→∞n \rightarrow \infty时它们之比趋向1.


四、(18分) 设总体XX的概率分布如下表所示, 其中p>0p>0为未知参数.

XX -1 0 1
PP 2p2 p 1−5p1-5 p 3p3 p

现有一样本容量n=60n=60的简单随机样本, 其中0出现了30次, 1和-1均出现了15次.

(1)(9分) 求pp的极大似然估计p^\hat{p}的值;

(2)(9分) 在显著性水平α=0.05\alpha=0.05下, 利用p^\hat{p}和拟合优度检验, 我们能否可以认为“该组样本来自于总体XX”?

附表:
满足条件F(vβ)=1−βF\left(v_{\beta}\right)=1-\beta的点vβv_{\beta}称为分布函数FF的上β\beta分位点, 其中0<β<1.0<\beta<1 . 设uβ,χn2(β)u_{\beta}, \chi_{n}^{2}(\beta)和tn(β)t_{n}(\beta)分别表示标准正态分布, 自由度为nn 的χ2\chi^{2}分布和自由度为nn的tt分布的上β\beta 分位点.

u0.025=1.960,u0.05=1.645,u0.10=1.282χ12(0.05)=3.841,χ22(0.05)=5.99,χ152(0.05)=24.996χ152(0.025)=27.488,χ152(0.95)=7.261,χ152(0.975)=6.262t15(0.025)=2.132,t15(0.05)=1.753\begin{array}{l} u_{0.025}=1.960, \quad u_{0.05}=1.645, \quad u_{0.10}=1.282 \\ \chi_{1}^{2}(0.05)=3.841, \quad \chi_{2}^{2}(0.05)=5.99, \quad \chi_{15}^{2}(0.05)=24.996 \\ \chi_{15}^{2}(0.025)=27.488, \quad \chi_{15}^{2}(0.95)=7.261, \quad \chi_{15}^{2}(0.975)=6.262 \\ t_{15}(0.025)=2.132, \quad t_{15}(0.05)=1.753 \end{array}