南开大学-432统计学-2016年

一、选择题 (每题 4 分, 共 28 分)

  1. 下列事件运算表示 “三个事件恰好一个发生”的是 ( ).
    A. A∪B∪CA \cup B \cup C;
    B. ABˉCˉA \bar{B} \bar{C}
    C. Ω−AˉBˉCˉ\Omega-\bar{A} \bar{B} \bar{C}
    D. AˉBˉCˉ+ABˉCˉ+AˉBCˉ+AˉBˉC\bar{A} \bar{B} \bar{C}+A \bar{B} \bar{C}+\bar{A} B \bar{C}+\bar{A} \bar{B} C.

  1. 已知 X∼P(3)X \sim \mathcal{P}(3), 利用切比雪夫不等式估计 P(0<X<6)P(0<X<6) 的概率是 ( ).
    A. P(0<X<6)≤13P(0<X<6) \leq \frac{1}{3};
    B. P(0<X<6)≥13P(0<X<6) \geq \frac{1}{3}
    C. P(0<X<6)≤23P(0<X<6) \leq \frac{2}{3};
    D. P(0<X<6)≥23P(0<X<6) \geq \frac{2}{3}.

  1. 桌上有 nn 个信封与 nn 封信, 现将它们随机匹配, 则匹配成功的信封数的期望 是 ( ).
    A. 1
    B. 2 ;
    C. 1+1/n1+1 / n
    D. n(1−1/e)n(1-1 / e).

  1. 有来自二阶矩存在总体 XX 的随机样本 X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n}, 设 S2=1n−1∑i=1n(Xi−S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\right. Xˉ)2\bar{X})^{2}, 则 SS 一定是总体标准差 σ\sigma 的 ( ).
    A. UMVUE;
    B. 相合估计;
    C. 无偏估计;
    D. MLE.

  1. 下列不具有可加性的分布是（ ).
    A. 伽马分布;
    B. 泊松分布;
    C. 柯西分布;
    D. 麦克斯韦分布.

  1. 已知 (X,Y)∼N(3,6;1,4;0.5)(X, Y) \sim N(3,6 ; 1,4 ; 0.5), 则 P(X−Y<−3)=( )P(X-Y<-3)=(~).
    A. 0.40.4
    B. 0.60.6
    C. 0.50.5;
    D. 0.6450.645.

  1. 已知 X,Y,ZX, Y, Z 独立同服从标准差正态分布, 则下列说法正确的是 ( ).
    A. X2X2+Y2∼F(1,2)\frac{X^{2}}{X^{2}+Y^{2}} \sim F(1,2)
    B. 3X2X2+Y2+Z2∼F(1,3)\frac{3 X^{2}}{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}} \sim F(1,3)
    C. 2XY2+Z2∼t(2)\frac{\sqrt{2} X}{\sqrt{Y^{2}+Z^{2}}} \sim t(2)
    D. X2+Y2Y2+Z2∼F(2,2)\frac{X^{2}+Y^{2}}{Y^{2}+Z^{2}} \sim F(2,2).

二、填空题(每题4分, 共32分)

  1. U(−1,1)U(-1,1)的特征函数是________.

  1. 设随机变量X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2), 则E∣X−μ∣=E|X-\mu|=________.

  1. 有2个五分硬币、3个二分硬币和5个一分硬币, 随机抽取5个, 总和大于一角的概率是________.

  1. 已知在Y=yY=y的条件下, X∼N(y,y)X\sim N(y,y), 又Y∼Exp(1)Y\sim Exp(1), 则Var(X)=Var(X)=________.

  1. 已知(X,Y)(X,Y)服从单位圆内的均匀分布, 则Corr(X,Y)=(X,Y)=________.

  1. 已知双参数指数分布随机变量XX具有密度函数f(x)=λe−λ(x−a),f(x)=\lambda e^{-\lambda(x-a)}, 其中x>ax>a, 则EX=EX=, Var(X)=Var(X)=.

  1. 设X1,X2,⋯ ,XnX_1,X_2,\cdots,X_n为来自均匀分布U(0,θ)U(0,\theta)的简单随机样本, 则参数θ\theta的充分统计量为________.

  1. 有来自N(μ,σ2)N(\mu,\sigma^2)的nn个随机样本x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_n, μ,σ\mu, \sigma未知, xˉ\bar{x}和s2s^2是样本均值和样本方差, 则μ\mu的1−α1-\alpha置信区间是________.

三、解答题(90分)

1.(10分)甲乙两个抽屉中各有3个白球、2个黑球, 从甲抽屉中抽取1个球放入乙抽屉中, 再从乙抽屉取4个球放入甲抽屉, XX表示4个球中黑球的个数, 求 XX 的分布律.


2.(15分)二维随机变量 (X,Y)(X,Y)独立同分布, XX取−1,0,1-1, 0, 1的概率分别为1/4,1/2,1/41/4, 1/2, 1/4.

U={1,X≥Y,0,X<Y,U=\left\{ \begin{matrix}{} 1,& X\ge Y,\\ 0,& X<Y,\\ \end{matrix} \right.

(1) 求(X,Y)(X,Y)的联合分布;

(2) UU与 XX 是否独立, 说明理由;

(3) 求Z=X2+1Z=X^2+1的分布函数.


3.(15分) 设 X1,X2⋯XnX_{1}, X_{2} \cdots X_{n} 为来自正态总体 N(0,σ2)N\left(0, \sigma^{2}\right) 的简单随机样本, 其中 σ2\sigma^{2} 为未知参数, 记 Xˉ=1n∑i=1nXi,Sn2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{i}, S_{n}^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}.

(1) 求σ2\sigma^{2} 的极大似然估计, 并记之为 σ^2\hat{\sigma}^{2};

(2) 你认为σ^2\hat{\sigma}^{2} 与 Sn2S_{n}^{2} 哪个更好? 为什么.


4.(15分) 设X1,X2,⋯ ,XnX_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n} 为来自两点分布 B(1,p)B(1,p)的简单随机样本, 其中 p∈(0,1)p \in(0,1), 记 n1,n2n_{1}, n_{2}
为上述nn个样本中取值分别为1和0的个数, 如记

q=1−p,χ2=(n1−np)2np+(n2−nq)2nq,q=1-p,\chi ^2=\frac{\left( n_1-np \right) ^2}{np}+\frac{\left( n_2-nq \right) ^2}{nq},

证明当 n→∞n \rightarrow \infty 时, 有 χ2\chi^{2} 依分布收敛于 χ2(1)\chi^{2}(1).


5.(15分) 有来自总体X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)的nn个随机样本, S2S^2是样本方差, 基于S2S^2构造的σ2\sigma^2的最短置信区间是

[(n−1)S2a,(n−1)S2b],\left[ \frac{(n-1)S^2}{a},\frac{(n-1)S^2}{b} \right],

试给出aa与bb的关系.


6.(10分) 有来自总体X∼B(1,p)X\sim B(1,p)的随机样本X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n, 给出一个p2p^2的无偏估计.


7.(10分) 有来自双参数指数分布总体X∼Exp(a,λ)X\sim Exp(a,\lambda)的随机样本X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n, 其密度函数是

f(x)=λe−λ(x−a),x>a,f(x)=\lambda e^{-\lambda(x-a)},x>a,

其中a,λa,\lambda是未知参数, 求(a,λ)(a,\lambda)的充分统计量.