清华大学-432统计学-2016年

一、(30分) 设$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$是来自均匀分布总体$U(0,\theta)$的简单随机样本, 其中$\theta>0$是未知参数.
定义

$$U_{n}=\max \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}, V_{n}=\min \left\{X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}\right\}.$$

(1)(10分) 求$\theta$ 的最大似然估计 ;
(2)(10分) 判断$U_{n}$ 和 $V_{n}$是否分别是$\theta$的无偏估计, 并说明理由;
(3)(10分) 试构造$\theta$的相合估计, 并说明理由.

二、(20分) 设$\lambda_{n}=\frac{1}{n}(n=1,2, \cdots)$, 随机变量$X_{n} \sim \mathcal P \left(\lambda_{n}\right)$.

(1)(10分) 证明$: X_{n}$依概率收敛于0;
(2)(10分) $n X_{n}$是否依概率收敛于0, 并说明理由.

三、(30分) 设样本$Y_{1}, Y_{2}, \cdots, Y_{n}$独立, $Y_{i} \sim N\left(k x_{i}, \sigma^{2}\right), i=1,2, \cdots n,$ 其中$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$是已知非零常数. $k$ 和 $\sigma^{2}$是未知参数.

(1)(15分) 求$k$和$\sigma^{2}$的最大似然估计;
(2)(15分) 判断上面得到的估计是否为无偏估计.

四、(20分) 设离散随机变量$X_{n}$的分布律为:

$$P\left(X_{n}=0\right)=1-\frac{1}{n}, P\left(X_{n}=n\right)=\frac{1}{n}, n=1,2,3, \cdots$$

判断:

(1)(10分) $X_{n}$的分布函数是否收敛;
(2)(10分) $X_{n}$是否矩收敛.

五、(30分) 设总体$X$ 密度函数为$f(x)=a x^{a-1} I[0 \leq x \leq 1],$ 其中$a$是未知参数, 参数空间为$A=$ $\{a \mid a=1, a=2\}$, 现有统计假设

$$H_{0}: a=1 \quad \text { vs } \quad H_{1}: a=2$$

从总体 $X$ 抽取简单随机样本$x_{1}$和$x_{2},$ 并构造检验的拒绝域为

$$W=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \mid x_{1} x_{2}>\frac{1}{2}\right\},$$

试计算:

(1)(15分) 犯第一类错误的概率;
(2)(15分) 检验法的功效.

六、(20分) 现有来自于某一连续总体的样本观测值如下:

$$\begin{array}{ccccc} 0.904 & -0.205 & 0.125 & -0.247 & 0.712 \\ 1.634 & -1.107 & -2.668 & -0.224 & 1.481 \\ -0.914 & -0.035 & -0.457 & 0.261 & 1.09 \\ -0.459 & -1.649 & 0.426 & -0.601 & 0.416 \\ 0.908 & & & & \end{array}$$

(1)(10分) 分别计算如下统计量的值：样本均值，样本标准差，样本极差，样本偏度和峰度;
(2)(10分) 画出这组样本观测值的箱线图和直方图.