上海交通大学-432统计学-2016年

一.选择题 (10小题，每小题 6 分，共60分)

  1. 从一个 600 人的小区里抽住户，先按单元分，抽取若干单元的住户，再从抽取的若干个单元中，按完全随机的办法抽取 60 户，这种是什么抽样方法? ( )
    A. 整群抽样
    B. 分层抽样
    C. 系统抽样
    D. 多阶段抽样

  1. 为调查群众戴口罩的频率, 调查者采用问卷调查, 问卷中的一个问题为"您戴口罩的频繁吗?", 选项为“从来不戴”、“极少戴”、“偶尔戴”、“经常戴”. 这一调查包含的误差类型是( )
    A.记忆误差
    B.理解误差
    C.无回答误差
    D.有意识误差

  1. 自填式问卷调查的缺点是什么? ( )
    A. 回收率低
    B. 成本太高
    C. 只适合复杂的问卷
    D. 调查周期短

  1. 一个月份或季度的季节指数指的是该月份或季度数值 ( )
    A. 占全年月份或季度数值总和的比率
    B. 占以往所有年份相应的月份或季度数值平均的比率
    C. 占全年月份或季度数值的平均数的比率
    D. 以上选项都不对

  1. 设 X1,⋯ ,X5X_{1}, \cdots, X_{5} 为来自均匀分布 U(0,θ)U(0, \theta) 的简单随机样本, 令 Y1=min⁡{Xi},Y5=max⁡{Xi}Y_{1}=\min \left\{X_{i}\right\}, Y_{5}=\max \left\{X_{i}\right\}, 则 θ\theta 的 90%90 \% 置信区间为()
    (A) (Y10.955,Y10.055)\left(\frac{Y_{1}}{\sqrt[5]{0.95}}, \frac{Y_{1}}{\sqrt[5]{0.05}}\right)
    (B) (Y50.955,Y50.055)\left(\frac{Y_{5}}{\sqrt[5]{0.95}}, \frac{Y_{5}}{\sqrt[5]{0.05}}\right)
    (C) (Y10.95,Y50.95)\left(\begin{array}{cc}\frac{Y_{1}}{\sqrt[5]{0.9}}, & \frac{Y_{5}}{\sqrt[5]{0.9}}\end{array}\right)
    (D) (Y11−0.15,Y50.15)\left(\frac{Y_{1}}{1-\sqrt[5]{0.1}}, \frac{Y_{5}}{\sqrt[5]{0.1}}\right)

  1. 甲乙两人轮流掷骰子, 先掷出1或6者取胜, 问先掷者获胜的概率是( ).
    A.13\frac{1}{3};
    B.12\frac{1}{2};
    C.25\frac{2}{5};
    D.35\frac{3}{5}.

  1. 设 h(x)=[x]h(x)=[x], 已知 ξ∼exp⁡(θ)\xi \sim \exp (\theta), 则 h(ξ)h(\xi) 的分布是 ( ).
    (A) 泊松分布, 参数为 e−θe^{-\theta};
    (B) 几何分布, 参数为 e−θe^{-\theta};
    (C) 泊松分布, 参数为 1−e−θ1-e^{-\theta};
    (D) 几何分布, 参数为 1−e−θ1-e^{-\theta}.

  1. 已知独立双样本 X1,⋯ ,Xn∼iidN(0,σX2),Y1,⋯ ,Ym∼iidN(0,σY2)X_{1}, \cdots, X_{n} \stackrel{i i d}{\sim} N\left(0, \sigma_{X}^{2}\right), Y_{1}, \cdots, Y_{m} \stackrel{i i d}{\sim} N\left(0, \sigma_{Y}^{2}\right), 原假设为 σX=σY\sigma_{X}=\sigma_{Y}. 问样本方差之比 SX2/SY2S_{X}^{2} / S_{Y}^{2} 在原假设为真时服从的分布是 ( ).
    (A) F(n,m)F(n, m);
    (B) F(m,n)F(m, n);
    (C) F(n−1,m−1)F(n-1, m-1);
    (D) F(m−1,n−1)F(m-1, n-1).

  1. 设 X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 为正态分布 N(μ,σ2)\mathrm{N}\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的样本, μ\mu 末知而 σ2\sigma^{2} 已知。 Xˉ\bar{X} 和 S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} 为样本均值 及样本方差。记, T1=xˉ−μσ/n,T2=xˉ−μs/n,T3=(n−1)S2σ2T_{1}=\frac{\bar{x}-\mu}{\sigma / n}, T_{2}=\frac{\bar{x}-\mu}{s / n}, T_{3}=\frac{(n-1) S^{2}}{\sigma^{2}}, 则 T1,T2,T3T_{1}, T_{2}, T_{3} 中统计量的个数为 ()
    (A) 0
    (B) 1
    (C) 2
    (D) 3

  1. 设有来自方差为 σ2\sigma^2 的总体的随机样本 X1,⋯ ,XnX_1,\cdots,X_n, 定义样本均值 Xˉ\bar{X}, 则有 Var(X1−Xˉ)=Var(X_1-\bar{X})=( ).
    A. σ2\sigma ^2
    B. n−2nσ2\frac{n-2}{n}\sigma ^2
    C. n+1nσ2\frac{n+1}{n}\sigma ^2
    D. n−1nσ2\frac{n-1}{n}\sigma ^2

二、简答题

  1. 抽样调查的主要优点有哪些?

  1. (1) 比较均值、众数、中位数的特点, 并举例说明;
    (2) 比较标准差和变异系数的特点, 并举例说明;
    (3) 说明标准分数的计算公式, 并说明其意义.

  1. 随机变量 Xi(i=1,2,3,…,n)X_i(i=1,2,3, \ldots, n) 独立同分布，且 E(Xi)=1,E(Xi2)=2,E(Xi4)=8E\left(X_i\right)=1, E\left(X_i^2\right)=2, E\left(X_i^4\right)=8 ，则当 n→∞n \rightarrow \infty 时， ∑i−1nXi2n\frac{\sum_{i-1}^n X_i^2}{n} 服从什么分布，并说明概率密度函数的形态变化.

  1. 甲乙丙三人进行信息传递游戏, 通过表演将某个动物的名称传给下一个人. 假设所有人都知道题目只有“猫”或“狗”. 甲是第一个人, 他看到的动物是“猫”, 他以表演的方式将信息传递给乙, 乙再通过表演的方式将信息传递给丙, 丙说出动物名称. 若每个人信息传递正确的概率均为 13\frac{1}{3}, 求丙说出“猫”的概率.

三. 计算题

  1. 有下述一元线性的方差分析表
变量 平方和 自由度 均方 FF比 Prob(>F>F)
回归 612 3 0.0001
残差
总 888 30

(1)(4分) 样本量和参数分别是几个?
(2)(4分) 补齐方差分析表.
(3)(5分) 给定 α=0.05\alpha=0.05, 方程是否显著?
(4)(5分) 给出 R2R^2, 以及误差方差的估计量.


  1. 机场大巴从起点站到西单站恰有nn站, 某次大巴从机场开出时有mm位旅客, 每位旅客在每站下车都是等可能的(即每人都有nn次下车选择), 如果无人下车则中途不停车. 求机场大巴到西单站的平均停车次数.

四. 证明题

  1. 设 p∈(0,1),0<α<(1−p)/pp \in(0,1), 0<\alpha<(1-p) / p. 已知一个家庭有 nn 个小孩的概率是

pn={αpn,n≥1,1−αp/(1−p),n=0.p_{n}= \begin{cases}\alpha p^{n}, & n \geq 1, \\ 1-\alpha p /(1-p), & n=0 .\end{cases}

又设男婴和女婴的出生是等可能的. 回答:

(1) 求一个家庭有 kk 个男孩的概率;

(2) 已知某家庭 没有女孩, 求该家庭有 1 个男孩的概率.