北京大学数院-431金融学综合-2016年

一、(14分) 回答下述问题:

(1)(4分) 52 张扑克牌分给 4 家,求每一家都是同花色的概率;

(2)(5分) 甲、乙、丙三人破译密码,成功的概率分别为 $0.5, 0.4 , 0.3$ 且相互独立, 求密码被成功破译的概率 ;

(3)(5分) 一个母虫产的卵的数量服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布,每只卵能孵化幼虫的概率为 $p,$ 求母虫有 $n$ 只后代的概率.

二、(11分) $X_{1}, X_{2}$ i.i.d $\sim U(0,1), Y=\min \left\{X_{1}, X_{2}\right\},$ 求

(1)(6分) $Y$ 的概率分布;

(2)(5分) $E Y$ 和 $D Y$ .

三、(11分) $X, Y, Z$ 的密度为 $f(x, y, z)=e^{-(x+y+z)}, x, y, z$ 大于 $0,$ 问 $X, Y, Z$ 是否相互独立.

四、(14分) 叙述并证明中心极限定理.

五、(11分) 有来自总体$B(1, p)$的$n$个随机样本, 求 $p$ 的充分统计量以及 $p(1-p)$ 的UMVUE.

六、(11分) 有来自总体$U(0, \theta)$的$n$个随机样本, 求在 $\alpha$ 的显著性水平下 $\theta$ 的置信区间.

七、(14分) 叙述并证明Neyman-Pearson基本引理.

八、(14分) 设线性回归模型

$$Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \varepsilon_i,\quad \varepsilon_i \sim N(0,\sigma^2),$$

其中$X_i$是常数, 各$X_i$均不相同.

(1) 求 $\beta_0, \beta_1, \sigma^2$ 的最大似然估计 $\widehat{\beta}_0, \widehat{\beta}_1, \widehat{\sigma}^2$.

(2) 上述 $\hat{\sigma}^2$ 是否为 $\sigma^2$ 的无偏估计? 若是，请说明理由; 若不是,试构造 $\sigma^2$ 的无偏估计.

(3) 给出$H_0:\beta_1=0 \quad \mathrm{vs}\quad H_1:\beta_1\neq 0$的显著性水平为$\alpha$的拒绝域.