复旦大学-432统计学-2016年

一、(15分) 三个人独立地同时破译密码, 且三人能破译密码的概率分别为1/5, 1/3和1/4, 求此密码能够被破译的概率.


二、(15分) 从(0,1)中随机地取两个数, 求其积不小于3/16且其和不大于1的概率.


三、(15分) X∼N(0,1),X \sim N(0,1), 求Y=X2Y=X^{2} 的密度函数.


四、(30分) 记(0,1),(1,0),(0,0)三点围成的区域为D,(X,Y)D,(X, Y)服从DD上的均匀分布, 求

(1)(15分) E(X+Y),Var⁡(X+Y)E(X+Y), \operatorname{Var}(X+Y);

(2)(15分) X,YX, Y 的相关系数.


五、(15分) 对于两个只有两个取值的随机变量X,Y,X, Y, 试证明X,YX, Y独立当且仅当X,YX, Y不相关.


六、(15分) 设有来自总体X∼N(μ,σ2)X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)的2n2 n个随机样本, 试求期望

E(∑i=1n(Xi+Xn+i−2Xˉ)2).E\left(\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^{2}\right).


七、(15分) X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3}是i.i.d.的服从U(0,1)U(0,1)的随机变量, 求次序统计量X(1)X_{(1)}的分布函数与期望.


八、(30分) 有来自X∼f(x)={θ,0≤x<11−θ,1≤x<2,0, otherwise X \sim f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\theta, & 0 \leq x<1 \\ 1-\theta, & 1 \leq x<2, \\ 0, & \text { otherwise }\end{array}\right. 的 nn 个简单随机样本, 求

(1)(15分) θ\theta 的矩估计;

(2)(15分) θ\theta 的最大似然估计, 已知 m=∑i=1nI[Xi<1]m=\sum_{i=1}^{n} I\left[X_{i}<1\right].