中山大学-432统计学-2016年

一、选择题(每小题3分, 共60分)

  1. 随机事件 A,B,CA, B, C 中恰有两个事件发生的复合事件为()
    (A) (A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C)(A \cap B) \cup(A \cap C) \cup(B \cap C)
    (B) A∪B∪C‾\overline{A \cup B \cup C}
    (C) (A∩B∩Cˉ)∪(A∩Bˉ∩C)∪(Aˉ∩B∩C)(A \cap B \cap \bar{C}) \cup(A \cap \bar{B} \cap C) \cup(\bar{A} \cap B \cap C)
    (D) (A∩Bˉ∩Cˉ)∪(Aˉ∩Bˉ∩C)∪(Aˉ∩B∩Cˉ)(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) \cup(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) \cup(\bar{A} \cap B \cap \bar{C})

  1. 假设随机事件 A,BA, B 都既不是不可能事件也不是必然事件, 并且 A≠B,Aˉ≠BA \neq B, \bar{A} \neq B 。包含随机事件 A,BA, B 的最小的 σ\sigma 域中元素的个数为()
    (A) 4
    (B) 8
    (C) 16
    (D) 32

  1. 以下哪条是概率的公理化定义中要求的? ()
    (A) 有限可加性
    (B) 可列可加性
    (C) 上连续性
    (D) 下连续性

  1. 从 (0,1)(0,1) 中独立随机地取两个数 b,cb, c, 则方程 x2+bx+c=0x^{2}+b x+c=0 有实根的概率为( ()
    (A) 1/241 / 24
    (B) 1/121 / 12
    (C) 1/61 / 6
    (D) 1/41 / 4

  1. 下面哪个选项不是随机事件 A,B(0<P(A),P(B)<1)A, B(0<P(A), P(B)<1) 相互独立的充要条件 ( )
    (A) P(A∣B)=P(A∣Bˉ)P(A \mid B)=P(A \mid \bar{B})
    (B) P(A∣B)+P(Aˉ∣Bˉ)=1P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1
    (C) P(A∩Bˉ)=P(A)P(Bˉ)P(A \cap \bar{B})=P(A) P(\bar{B})
    (D) P(A∣B)+P(A∣Bˉ)=1P(A \mid B)+P(A \mid \bar{B})=1

  1. 已知 P(A)=0.4,P(B)=0.25,P(A−B)=0.25P(A)=0.4, P(B)=0.25, P(A-B)=0.25, 则 P(A∪B)=(P(A \cup B)=( )
    (A) 0.40.4
    (B) 0.50.5
    (C) 0.60.6
    (D) 0.650.65

  1. 到达银行的顾客分为两类, 一类是办理现金业务, 一类是办理非现金业务。假设在特定时间内 这两类顾客的到达人数服从泊松分布, 并相互独立。已知平均每个小时 5 个人办理现金业务, 2 个 人办理非现金业务, 则在一个小时内没有人到达银行的概率为 ()
    (A) e−2e^{-2}
    (B) e−5e^{-5}
    (C) e−7e^{-7}
    (D) e−14e^{-14}

  1. 选择题有四个答案, 只有一个是正确的。懂的学生能够准确回答, 不懂的学生从中四个答案中随 机选择。假定一个学生懂与不懂的概率都是 0.50.5, 则答对的学生对该题不懂的概率为()
    (A) 0.10.1
    (B) 0.20.2
    (C) 0.40.4
    (D) 0.50.5

  1. 设 X∼B(100,0.2)X \sim B(100,0.2), 设 Φ(x)\Phi(x) 为标准正态分布的累积分布函数, 则 X>28X>28 的概率大约是 ()
    (A) 1−Φ(2)1-\Phi(2)
    (B) 1−Φ(1)1-\Phi(1)
    (C) Φ(2)\Phi(2)
    (D) 2Φ(2)−12 \Phi(2)-1

  1. 设 (X,Y)(X, Y) 服从三角形区域 D={(x,y):0<x<y<1}D=\{(x, y): 0<x<y<1\} 上的均匀分布, 则
    (A) Y∣XY \mid X 服从区间 (0,1)(0,1) 上的均匀分布
    (B) YY 服从区间 (0,1)(0,1) 上的均匀分布
    (C) Y∣XY \mid X 服从区间 (X,1)(X, 1) 上的均匀分布
    (D) YY 服从区间 (X,1)(X, 1) 上的均匀分布

  1. 设 X1,⋯ ,X10X_{1}, \cdots, X_{10} 来自正态分布 N(μ,σ2)N\left(\mu, \sigma^{2}\right) 的样本, Xˉ=(X1+⋯+X10)/10\bar{X}=\left(X_{1}+\cdots+X_{10}\right) / 10, 若 Y=aXˉ+b∼N(0,1)Y=a \bar{X}+b \sim N(0,1), 则 ()
    (A) a=0,b=1a=0, b=1
    (B) a=10/σ,b=−10μ/σa=\sqrt{10} / \sigma, b=-\sqrt{10} \mu / \sigma
    (C) a=10/σ2,b=−10μ/σ2a=10 / \sigma^{2}, b=-10 \mu / \sigma^{2}
    (D) a=1/σ,b=−μa=1 / \sigma, b=-\mu

  1. 若 X∼N(0,1),Y∼χ2(n)X \sim N(0,1), Y \sim \chi^{2}(n), 则 t=X/Y/nt=X / \sqrt{Y / n} 的分布是 ()
    (A) t(n)t(n)
    (B) N(0,1)N(0,1)
    (C) t(n−1)t(n-1)
    (D) 不能确定

  1. 设 Xi∼N(i−1,i),i=1,2,3X_{i} \sim N(i-1, i), i=1,2,3, 且 X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3} 之间相互独立。令 Xˉ=(X1+X2+X3)/3,S2=\bar{X}=\left(X_{1}+X_{2}+X_{3}\right) / 3, S^{2}= ∑i=13(Xi−Xˉ)2/2\sum_{i=1}^{3}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} / 2, 则 ()
    (A) 2S2∑i=131i∼χ2(2)2 S^{2} \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{i} \sim \chi^{2}(2)
    (B) ∑i=13(Xi−Xˉ)2i∼χ2(2)\sum_{i=1}^{3} \frac{\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}{i} \sim \chi^{2}(2)
    (C) X1(X2−1)24+(X3−2)26∼t(2)\frac{X_{1}}{\sqrt{\frac{\left(X_{2}-1\right)^{2}}{4}+\frac{\left(X_{3}-2\right)^{2}}{6}}} \sim t(2)
    (D) XˉS/3∼t(2)\frac{\bar{X}}{S / \sqrt{3}} \sim t(2)

  1. 设 X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 来自正态分布 N(0,σ2)N\left(0, \sigma^{2}\right) 的简单随机样本, 则 σ2\sigma^{2} 的最大似然估计为 ()
    (A) ∑i=1nXi2/n\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} / n
    (B) ∑i=1n(Xi−Xˉ)2/n\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} / n
    (C) ∑i=1nXi2/(n−1)\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{2} /(n-1)
    (D) ∑i=1n(Xi−Xˉ)2/(n−1)\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2} /(n-1)

  1. 设 X1,⋯ ,X25\mathrm{X}_{1}, \cdots, \mathrm{X}_{25} 为来自均匀分布 U(θ−1,θ+1)\mathrm{U}(\theta-1, \theta+1) 的简单随机样本, 其顺序统计量记为 X(1),X(2),⋯ ,X(25)X_{(1)}, X_{(2)}, \cdots, X_{(25)}, 则下列统计量是 θ\theta 的充分统计量的是 ()
    (A) X(1)X_{(1)}
    (B) X(25)X_{(25)}
    (C) (X(1),X(25))\left(X_{(1)}, X_{(25)}\right)
    (D) X(13)X_{(13)}

  1. X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 为来自正态分布 N(μ,1)N(\mu, 1) 的简单随机样本。记 ZαZ_{\alpha} 为标准正态分布的 100α%100 \alpha \% 分位数, 则由 此样本所构造的置信水平分别为 95%95 \% 与 90%90 \% 的双侧置信区间长度之比为()
    (A) 2×z0.975Z0.952 \times \frac{z_{0.975}}{Z_{0.95}}
    (B) z0.975z0.95\frac{z_{0.975}}{z_{0.95}}
    (C) 2×z0.95z0.902 \times \frac{z_{0.95}}{z_{0.90}}
    (D) z0.95z0.90\frac{z_{0.95}}{z_{0.90}}

  1. X1,⋯ ,XnX_{1}, \cdots, X_{n} 为来自正态分布 N(μ,1)N(\mu, 1) 的简单随机样本。令 Xˉ\bar{X} 为其样本均值, 若 (Xˉ−Cα,Xˉ+Cα)\left(\bar{X}-C_{\alpha}, \bar{X}+C_{\alpha}\right) 为 μ\mu 的 1- α\alpha 水平的置信区间, 其中 0<α<1,Cα>00<\alpha<1, C_{\alpha}>0 为常数。若从总体 N(μ,1)N(\mu, 1) 中新增一独立样品 Xn+1X_{n+1}, 则 Xn+1X_{n+1} 落在此置信区间的概率()
    (A) 等于 1−α1-\alpha
    (B) 小于 1−α1-\alpha
    (C) 大于 1−α1-\alpha
    (D) 与1- α\alpha 的大小关系不能确定

  1. X1,X2,X3X_{1}, X_{2}, X_{3} 为来自正态分布 N(0,σ2)N\left(0, \sigma^{2}\right) 的简单随机样本。记 Q1=∑i=13Xi2,Q2=∑i=13(Xi−Xˉ)2,χα2(r)Q_{1}=\sum_{i=1}^{3} X_{i}^{2}, Q_{2}=\sum_{i=1}^{3}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}, \chi_{\alpha}^{2}(r) 为自由度为 rr 的 χ2\chi^{2} 分布的 100α%100 \alpha \% 分位数，则下面哪个不是 σ2\sigma^{2} 的 95%的置信区间()
    (A) (Q1χ0.9752(3),Q1χ0.0252(3))\left(\frac{Q_{1}}{\chi_{0.975}^{2}(3)}, \frac{Q_{1}}{\chi_{0.025}^{2}(3)}\right)
    (B) (nXˉ2χ0.9752(1),nXˉ2χ0.0252(1))\left(\frac{n \bar{X}^{2}}{\chi_{0.975}^{2}(1)}, \frac{n \bar{X}^{2}}{\chi_{0.025}^{2}(1)}\right)
    © (Q2χ0.9752(2),Q2χ0.0252(2))\left(\frac{Q_{2}}{\chi_{0.975}^{2}(2)}, \frac{Q_{2}}{\chi_{0.025}^{2}(2)}\right)
    (D) (0,Q2χ0.952(2))\left(0, \frac{Q_{2}}{\chi_{0.95}^{2}(2)}\right)

  1. 在单因素方差中, Xk1,Xk2,⋯ ,Xkn∼N(μk,σ2),k=1,2,3X_{k 1}, X_{k 2}, \cdots, X_{k n} \sim N\left(\mu_{k}, \sigma^{2}\right), k=1,2,3, 且 X11,⋯ ,X1n,X21,⋯ ,X2nX_{11}, \cdots, X_{1 n}, X_{21}, \cdots, X_{2 n}, X31,⋯ ,X3nX_{31}, \cdots, X_{3 n} 之间相互独立, 令 Xˉk⋅=1n∑i=1nXki,k=1,2,3,Xˉ=13n∑k=13∑i=1nXki\bar{X}_{k \cdot}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_{k i}, k=1,2,3, \bar{X}=\frac{1}{3 n} \sum_{k=1}^{3} \sum_{i=1}^{n} X_{k i} 。若 σ2=1\sigma^{2}=1, 则 ()
    (A) ∑k=13∑i=1n(Xki−Xˉ)2∼χ2(3n−1)\sum_{k=1}^{3} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{k i}-\bar{X}\right)^{2} \sim \chi^{2}(3 n-1)
    (B) ∑k=13(Xˉk⋅−Xˉ)2∼χ2(2)\sum_{k=1}^{3}\left(\bar{X}_{k \cdot}-\bar{X}\right)^{2} \sim \chi^{2}(2)
    (C) ∑k=13n(Xˉk−Xˉ)2∼χ2(2)\sum_{k=1}^{3} n\left(\bar{X}_{k}-\bar{X}\right)^{2} \sim \chi^{2}(2)
    (D) ∑k=13∑i=1n(Xki−Xˉk)2∼χ2(3n−3)\sum_{k=1}^{3} \sum_{i=1}^{n}\left(X_{k i}-\bar{X}_{k}\right)^{2} \sim \chi^{2}(3 n-3)

  1. 在简单线性回归中, 以下关于回归系数最小二乘估计叙述错误的是()
    (A) 求解最小二乘估计并不需要误差项服从正态分布
    (B) 最小二乘估计是无偏估计
    (C) 最小二乘估计是最优线性无偏估计 (BLUE)
    (D) 最小二乘估计是最小方差无偏估计 (MVUE)

二、(共 24 分) 设二维随机向量 (X,Y)(X, Y) 有密度

f(x,y)={(1+xy)/4,∣x∣<1,∣y∣<1；0, 其他. f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc} (1+x y) / 4, & |x|<1,|y|<1 ； \\ 0, & \text { 其他. } \end{array}\right.

(1) (8 分) 判断 XX 和 YY 是否相互独立。
(2) (8 分) 求在 Y=0.5Y=0.5 的条件下随机变量 XX 的条件密度。
(3) (8 分) 求 Z=X+YZ=X+Y 的密度函数。


三、(共 22 分) 设总体 XX 的密度函数 f(x)=2θ−2x,(0<x<θ),X1,⋯ ,Xn(n>3)f(x)=2 \theta^{-2} x,(0<x<\theta), X_{1}, \cdots, X_{n}(n>3) 为其简单随机样 本。
(1) (6 分) 求 θ\theta 的最大似然估计量 θ^1\hat{\theta}_{1} 。
(2) (6 分) 求 θ\theta 的矩法估计量 θ^2\hat{\theta}_{2} 。
(3) (10 分) 据 MSE (mean squared error) 准则, 请计算比较 θ^1\hat{\theta}_{1} 与 θ^2\hat{\theta}_{2} 的优劣。


四、(22 分) 设 X1,⋯ ,Xn(n≥3)X_{1}, \cdots, X_{n}(n \geq 3) 为来自伯努利分布 B(1,p)B(1, p) 的样本, 已知 T=X1+⋯+XnT=X_{1}+\cdots+X_{n} 为参数 pp 的充分统计量。
(1) (8 分) 求 p2p^{2} 的最大似然估计, 并说明该估计不是 p2p^{2} 的无偏估计。(需要写出详细推导过程)。
(2) (6 分) 令 M=X1X2M=X_{1} X_{2}, 证明 MM 是 p2p^{2} 的无偏估计。
(3) (8 分) 寻找 p2p^{2} 的最小方差无偏估计 (需要写出具体形式)。


五、(22 分) 总体 XX 服从如下分布。 X1,⋯ ,X4X_{1}, \cdots, X_{4} 为其样本量为 4 的简单随机样本。

XX −1-1 00 11
PP θ\theta 1−2θ1-2 \theta θ\theta

令 T(X1,⋯ ,X4)=∑i=14I(Xi=0)\mathrm{T}\left(X_{1}, \cdots, X_{4}\right)=\sum_{i=1}^{4} I\left(X_{i}=0\right), 其中 II 为示性函数。针对假设

H0:θ=13 v.s. H1:θ=14\mathrm{H}_{0}: \theta=\frac{1}{3} \quad \text { v.s. } \mathrm{H}_{1}: \theta=\frac{1}{4}

构建拒绝域C {(x1,x2,x3,x4):T(x1,x2,x3,x4)>2}\left\{\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right): T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)>2\right\} 。
(1) (12 分) 求此检验的第一类错误概率 α\alpha 与第二类错误概率 β0\beta_{0}
(2) (10 分) 请判断此检验是否为显著性水平为 α\alpha 时的最优检验 (most powerful test)。