北大叉院-849统计学-2016年

一、(10分) 在 7 黑球 3 白球中无放回抽 2 次,求

(1)(5分) 第 2 次是白球的概率;

(2)(5分) 已知第 2 次是黑球,求第一次是黑球的概率.

二、(10分) $X, Y$ 服从 $\left\{x^{2}+y^{2} \leq 1\right\}$ 上的均匀分布, 求

(1)(5分) $X, Y$ 的分布;

(2)(5分) 证明 $X, Y$ 不独立.

三、(15分) $x_{1}, \ldots, x_{n}$ i.i.d. $\sim f(x)=2 \lambda x e^{-\lambda x^{2}}, x>0,$ 求

(1)(5分) $\lambda$ 的 MLE;

(2)(5分) 讨论无偏性;

(3)(5分) 讨论相合性.

四、(15分) 有来自总体$X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right)$ 的$m = 4$个独立样本, 其中 $\bar{x}=125, s_{x}=2,$ 有来自总体$Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$ 的$n = 9$个样本, 其中$\bar{y}=140, s_{y}=3,$ 求

(1)(7分) $\mu_{1}, \mu_{2}$ 的 95%置信区间;

(2)(8分) 假设检验问题$H_{0}: \mu_{1}=\mu_{2}$的拒绝域,其中$\alpha=0.05$ .

五、(20分) 回答下述问题:

(1)(10分) 叙述 N-P 引理;

(2)(10分) 利用 N-P 引理推导 UMP 否定域, 并求犯第二类错误的概率:

$H_{0}: X \sim N(0,1) \text { vs } H_{1}: X \sim N(2,1).$

其中 $x_1,\cdots,x_n$ 是来自总体 $X$ 的 i.i.d. 样本.

六、(30分) 已知$Y_{i}=X_{i}^{T} \beta+\varepsilon_{i}, i=1,2, \ldots, n, \varepsilon_{i}$ i.i.d. $\sim N\left(0, \sigma^{2}\right), X_{i}=\left(X_{1 i}, X_{2 i}, \ldots, X_{s i}\right)^{T}$是已知的常数,

(1)(10分) 求 $\beta, \sigma^{2}$ 的 MLE $\widehat{\beta},\widehat{\sigma^2}$;

(2)(10分) 求 $\widehat{\beta}$ 的分布;

(3)(10分) $Y_{i}=a+b x_{i}+\varepsilon_{i}, i=1,2, \ldots, n, \varepsilon_{i}$ i.i.d $\sim N\left(0, \sigma^{2}\right),$ 求 $\operatorname{MLE} \hat{a}, \hat{b},$ 并证明 $\hat{a}, \widehat{b}$ 独立当且仅当 $\sum_{i=1}^{n} x_{i}=0 .$

七、(20分) 有独立随机序列 ${X_n}$, 其分布列是 $P\left\{X_{n}=n^{\alpha}\right\}=\frac{1}{n}, P\left\{X_{n}=0\right\}=1-\frac{1}{n},$ 问 $\alpha$ 取何值时,

(1)(10分) $X_{n}$依概率收敛到 0;

(2)(10分) $X_n$几乎必然收敛到 0.

八、(30分) 已知$X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n},$ i.i.d. $\sim \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{\theta}\right)$

(1)(10分) $\operatorname{MLE} \hat{\theta}$;

(2)(10分) 费雪信息量 $I(\theta)$;

(3)(10分) 是否存在 $\theta$ 的有效估计.