北京大学光华-431金融学统计-2016年

一、 收集两只股票的日回报率, 其中 (x1,x2,x3,⋯ ,xn)\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \mathrm{x}_3, \cdots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right) 为 A\mathrm{A} 市场的股票的回报率, (y1,y2,y3,⋯ ,yn)\left(y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n\right) 为 BB 市场的股票的回报率

（1） 描述如何检验 A\mathrm{A} 的回报率是否比 B\mathrm{B} 的高。
（2）如何检验 A\mathrm{A} 的回报率方差和 B\mathrm{B} 的是否一样。
（3）如何检验 AA 与 BB 的股票日回报是否相关。
（4）如果 (x1,x2,x3,⋯ ,xn)\left(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n\right) 为 AA 市场的股票的价格, (y1,y2,y3,⋯ ,yn)\left(y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n\right) 为 BB 市场的股票的价格。如何检验 A\mathrm{A} 的股价是否高于 B\mathrm{B} 。

二、 考虑泊松分布 P(X=x)=e−λx!λx\mathrm{P}(X=\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda}}{\mathrm{x} !} \lambda^{\mathrm{x}}, 搜集到样本 x1,x2,⋯ ,xnx_1, x_2, \cdots, x_n, 请估计参数 λ\lambda 并检验其统计性质。

三、 某老师做研究生成绩 grade 对平时成绩 cGPA 和逃课率 Skipped 的回归如下: grade =α0+α1=\alpha_0+\alpha_1 cGPA +α2+\alpha_2 Skipped +ε+\varepsilon, 其中样本容量为 n=141,R2=0.234,α2\mathrm{n}=141, \mathbf{R}^2=0.234, \alpha_2 的估计值为 α^2=0.36\widehat{\alpha}_2=0.36 。三个变量 α0,α1,α2\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2 的显著性检验pp值分别是 0.33,0.094,0.0210.33, 0.094, 0.021;

(1) 为什么要选择 CGPA\mathrm{CGPA} 做自变量?
(2) 在显著性水平为 1%1 \% 时, Skipped 对 grade 是否没有影响?
(3) 在显著性水平为 1%时, CGPA 和 Skipped 是否对 grade 同时没有影响?

四、 两只股票收益率分布如下: ε∼N(μ1,σ12),θ∼N(μ2,σ22)\varepsilon \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), \theta \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), 假定这两只股票的收 益率是独立的, 方差相等。现有两只股票收益率的样本, (ε1,ε2,ε3,⋯ ,εn)\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \cdots, \varepsilon_n\right) 和 (θ1,θ2,θ3,⋯ ,θm)\left(\theta_1, \theta_2, \boldsymbol{\theta}_3, \cdots, \boldsymbol{\theta}_{\mathrm{m}}\right) 。试求 ∑i=1n(εi−εˉ)2∑i=1n(εi−εˉ)2+∑j=1m(θj−θˉ)2\frac{\sum_{i=1}^n\left(\varepsilon_i-\bar{\varepsilon}\right)^2}{\sum_{i=1}^n\left(\varepsilon_i-\bar{\varepsilon}\right)^2+\sum_{j=1}^m\left(\theta_j-\bar{\theta}\right)^2} 的概率分布。

五、 记 rt=α+βrmt+εt\mathrm{r}_{\mathrm{t}}={\alpha}+\beta \mathrm{r}_{\mathrm{m}_{\mathrm{t}}}+\varepsilon_{\mathrm{t}} 为股票市场回报的回归方程, 试求:
（1） 在什么假设下 β\beta 的 OLS 估计量是无偏的? 请给出严格的数学证明。
（2）上述假设在实际中成立么? 为什么?