北京大学-431金融学综合-2016年-真题

北京大学-431金融学综合-2016年

2016统计部分真题

一、 收集同一个公司两个市场的日回报率, 其中 $\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2, \mathrm{x}_3, \cdots, \mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right)$ 为 $\mathrm{A}$ 市场的股票的回报率, $\left(y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n\right)$ 为 $B$ 市场的股票的回报率

（1）描述如何检验 $\mathrm{A}$ 的回报率是否比 $\mathrm{B}$ 的高。
（2）如何检验 $\mathrm{A}$ 的回报率方差和 $\mathrm{B}$ 的是否一样。
（3）如何检验 $A$ 与 $B$ 的股票日回报是否相关。
（4）如果 $\left(x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n\right)$ 为 $A$ 市场的股票的价格, $\left(y_1, y_2, y_3, \cdots, y_n\right)$ 为 $B$ 市场的股票的价格。如何检验 $\mathrm{A}$ 的股价是否高于 $\mathrm{B}$ 。

二、 考虑泊松分布 $\mathrm{P}(X=\mathrm{x})=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda}}{\mathrm{x} !} \lambda^{\mathrm{x}}$, 搜集到样本 $x_1, x_2, \cdots, x_n$, 请估计参数 $\lambda$ 并检验其统计性质。

三、 某老师做研究生成绩 grade 对平时成绩 CGPA 和逃课率 Skipped 的回归如下: grade $=\alpha_0+\alpha_1$ CGPA $+\alpha_2$ Skipped $+\varepsilon$, 其中样本容量为 $\mathrm{n}=141, \mathbf{R}^2=0.234, \alpha_2$ 的估计值为 $\widehat{\alpha}_2=0.36$ 。三个变量 $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2$ 的显著性检验$p$值分别是 $0.33, 0.094, 0.021$;

(1) 为什么要选择 $\mathrm{CGPA}$ 做自变量?
(2) 在显著性水平为 $1 \%$ 时, Skipped 对 grade 是否没有影响?
(3) 在显著性水平为 1%时, CGPA 和 Skipped 是否对 grade 同时没有影响?

四、 两只股票收益率分布如下: $\varepsilon \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), \theta \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$, 假定这两只股票的收益率是独立的, 方差相等。现有两只股票收益率的样本, $\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3, \cdots, \varepsilon_n\right)$ 和 $\left(\theta_1, \theta_2, \theta_3, \cdots, \theta_{\mathrm{m}}\right)$。
试求 $\frac{\sum_{i=1}^n\left(\varepsilon_i-\bar{\varepsilon}\right)^2}{\sum_{i=1}^n\left(\varepsilon_i-\bar{\varepsilon}\right)^2+\sum_{j=1}^m\left(\theta_j-\bar{\theta}\right)^2}$ 的概率分布。

五、 记 $\mathrm{r}_{\mathrm{t}}={\alpha}+\beta \mathrm{r}_{\mathrm{m}_{\mathrm{t}}}+\varepsilon_{\mathrm{t}}$ 为股票市场回报的回归方程, 试求:

（1） 在什么假设下 $\beta$ 的 OLS 估计量是无偏的? 请给出严格的数学证明。
（2）上述假设在实际中成立么? 为什么?

2016微观部分真题

一、(15分)甲、乙两名消费者考虑消费两种商品：饼饼（其消费量记为 $X_1$）与其他商品（其消费量记为 $X_2$）。两种商品价格分别为 $P_1 = 10$，$P_2 = 1$ 元。甲乙二人有相同的效用函数：

$$U(X_1, X_2) = X_1^{0.5} X_2^{0.5}$$

同时，二人的收入相同为 $I = 100$ 元。甲乙二人的唯一区别在于，乙有一张饼饼的折扣券，使用该折扣券能以 50% 的价格购买任何数量的饼饼（折扣券只能使用一次），甲没有折扣券。

1. 计算两名消费者各自对于两种商品的最优消费量。
2. 假设在实际购买商品之前，甲和乙商量能否以一定的价格将乙的折扣券卖给甲。甲为了得到折扣券，最高愿意付多少小钱？
3. 乙为了出让折扣券，至少应得到多少小钱？
4. 乙能否与甲达成一定的协议，从而将手中的折扣券转让给甲？

二、(15分) 一个垄断经营者同时销售两种产品。第一种产品的需求曲线是：

$$D_1(p_1, p_2) = \frac{3 - p_2}{p_1^2},$$

第二种产品的需求曲线是：

$$D_2(p_1, p_2) = \frac{3 - p_1}{p_2^2},$$

这个垄断经营者在销售了 $y_1$ 个第一种产品和 $y_2$ 个第二种产品以后，成本曲线是：

$$C(y_1, y_2) = y_1 + y_2.$$

1. 这两种产品是彼此的替代品还是彼此的互补品？
2. 求出这个垄断经营者的利润（使用变量 $p_1$ 和 $p_2$ 表述）。
3. 假设这个垄断经营者在第二种产品上被强制定价 $p_2 = 1$，但是他可以在 0 到 3 之间任意选择第一种产品的价格 $p_1$，求出可以使这个垄断经营者利润最大化的价格 $p_1$。
4. 假设这个垄断经营者必须给两种产品选择一样的价格，而这个价格介于 0 到 3 之间。求出可以使这个垄断经营者利润最大化的价格。

三、 (15分) 某消费者面临跨期消费选择问题。假设此消费者在今天的消费量为 $c_0$，在明天的消费量为 $c_1$，两期的价格均为 1。假设该消费者今天的收入为 $I_0 = 100$，设明天的收入为 $I_1$。消费者的效用函数是：

$$U(c_0, c_1) = \ln(c_0) + \ln(c_1)$$

消费者可以选择储蓄，但不能向他人借款，假设利率水平为 $r = 0$，求：

1. 若明天的收入 $I_1 = 34$，求此消费者的消费决策。
2. 若明天的收入存在两种可能，分别是 $I_1 = 100$ 和 $I_1 = 0$，两种可能性发生的概率各为 $50\%$，求此消费者的消费决策。

四、 (15分) 谷歌和百度在市场进行质量竞争，谷歌的质量为 $r_1$，百度的质量为 $r_2$。质量 $r_1$ 和 $r_2$ 介于 $0$ 至 $5$ 之间。谷歌的收入函数为：

$$200[0.5 + 0.05(r_1 - r_2)],$$

成本函数为 $c_1 = r_1^2$；百度的收入函数为：

$$200[0.5 + 0.05(r_2 - r_1)],$$

成本函数为 $c_2 = 1.25r_2^2$。试求：

1. 若百度收购了谷歌，那么利润最大化时的质量 $r_1$ 和 $r_2$ 分别为多少？
2. 若百度和谷歌进行寡头竞争，$r_1$ 和 $r_2$ 分别为多少？各自的利润分别为多少？总的质量为多少？和 (1) 中的总质量相比如何？
3. 若谷歌有一个投资计划，投入 60 单位的费用进行宣传和市场推广，投资之后的市场结构会发生变化：即谷歌的收入函数变为：

$$200[0.75 + 0.05(r_1 - r_2)],$$

百度的收入函数变为：

$$200[0.25 + 0.05(r_2 - r_1)],$$

假设各自成本不变。请问谷歌会做该项投资么？

五、 (15分) 在一个完全竞争的钢铁市场，市场的需求函数为 $P_d = 20 - Q$，市场的供给函数为 $P_s = 2 + Q$。炼钢企业的污染边际损耗是 $MD = 0.5Q$。

1. 画出需求曲线、供给曲线、边际损耗曲线以及社会的边际成本曲线。
2. 如果企业不对污染采取措施，那么市场的均衡价格和产量是多少？
3. 请问社会最优的产量是什么？相应的污染成本为多少？
4. 请问污染的外部性造成的社会福利损失为多少？
5. 政府能否通过对产量征税从而达到社会最优产量水平？如果可以，如何征税？